"Un gato matemático estaba multiplicando los dígitos de números de 4 cifras. Si el producto de ellas terminaba en 7, escribía la suma de las 4 cifras en el pizarrón sin repetir, ¿Cuántos números anotó el gato matemático en el pizarrón?"

Al tener que formar números específicos multiplicando otros números, debemos factorizarlos, y como queremos que el número a factorizar termine en siete, no podremos dividirlo entre 2, (queremos que termine en 7, no en 0, ni en número par), 4, (no podemos dividirlo entre 2), 5, (lo mismo que en 2, queremos que termine en 7, no en 0 ni 5) ni en 8, (no podemos dividirlo entre 2).

Solo podremos en 3, 7 o 9. Teniendo en cuenta esto, tendremos que buscar números de 4 cifras, que su producto termine en 7, y que sean divisibles entre 3, 7 o 9.
Los únicos números que cumplen estas condiciones son:

1117 (7)
1171 (7)
1711 (7)
7111 (7)
1333 (7)
3133 (7)
3313 (7)
3331 (27)
1139 (27)
1319 (27)
3119 (27)
1193 (27)
1391 (27)
3191 (27)
1913 (27)
1931 (27)
3911 (27)
9113 (27)
9131 (27)
9311 (27)

Hay otros números que terminan en 7, pueden dividirse entre 3, 7 o 9, pero estos no pueden ser factorizados por números de 1 cifra. 57, 87, 117, 77, entre otros, pero al dividirlos entre 3, (19, 29, 39, 11), o nos da un número primo, o nos da un número, que al volver a dividirse entre 3, nos da un número primo.

Teniendo en cuenta esto, podemos saber que los primeros 8 números de la lista sumados dan 10, (los primeros 4 tienen un 7 y tres 1, y los otros 4 un 1 y tres 3), los demás 14, (todos tienen un 3, un 9 y dos 1).

Así que, en conclusión, los únicos 2 números que pudo anotar el gato matemático en el pizarrón, fueron:

10 y 14.
(2 en total)

Agradecería si alguien pudiera corregirme, o mencionarme un dato que no tuve en cuenta, para así poder darme cuenta en que fallé y porqué, o si la página si tenía un error.

Gracias por su atención.

Sea ABC un triángulo rectángulo con $\mathrm{\angle }ABC=90^{\circ }angle\; ABC=90^\{circ\}$. Sea $\mathrm{\ell }ell$ la tangente por $BB$ a la circunferencia del $\mathrm{△}ABCtriangle\; ABC$. La perpendicular por $AA$ a $\mathrm{\ell }ell$, corta a $\mathrm{\ell }ell$ en $PP$, la perpendicular por $CC$ a $\mathrm{\ell }ell$, corta a $\mathrm{\ell }ell$ en $QQ$. Supongamos que $AP=4cmAP=4\; cm$ y $CQ=9cmCQ=9\; cm$, ¿cuánto vale el área del triángulo $ABCABC$?

Solución oficial: 39

Al expandir el producto $(3+2x+x^2)(1+mx+m^2{x}^2)(3\; +\; 2x\; +\; x^2)(1\; +\; mx\; +\; m^2\; x^2)$, el coeficiente de $x^{2}x^2$ es $11$. Andrea suma todos los posibles valores de $mm$ y obtiene una fracción irreducible $\frac{a}{b}frac\{a\}\{b\}$, ¿cuál es el valor de $\mathrm{\mid }a+b\mathrm{\mid }|a\; +\; b|$?

Solución oficial: 1

El lado $ABAB$ de un triángulo equilátero $ABCABC$ se prolongó por $BB$. Sobre esa prolongación, se toma un punto $DD$ de manera que $BD=BCBD\; =\; BC$. ¿cuánto mide el ángulo más pequeño del triángulo $\mathrm{△}BDCtriangle\; BDC$?

Solución oficial: 30

En la figura $ABCABC$ es un triángulo con $AB=7cmAB=7,\; cm$ y $BC=xcmBC=\; x,\; cm$, $PP$ es un punto sobre $ACAC$ tal que $AP=xcmAP=\; x,\; cm$, $PC=5cmPC=\; 5,\; cm$ y $QQ$ es un punto sobre la recta $BCBC$ tal que $CQ=xcmCQ=\; x,\; cm$. Si $PQ=7cmPQ=\; 7,\; cm$, ¿cuál es el valor de $xx$?

Solución oficial: 3

Miguel Angel compró una bolsa con $20002000$ caramelos de $55$ colores; $387387$ eran blancos, $396396$ amarillos, $402402$ rojos, $407407$ verdes y $408408$ cafés. Decidió comerse los caramelos de la siguiente forma: Sin mirar, sacaba tres caramelos de la bolsa. Si los tres eran del mismo color, se los comía. Si no, los regresaba a la bolsa. Continuó así hasta que sólo quedaron dos caramelos en la bolsa. ¿De qué color eran?

Solución oficial: verde

La suma de los dígitos del $20172017$ es igual a $1010$. ¿Cuál es el próximo año, después del $20172017$, donde la suma de los dígitos del año será $1010$ otra vez?

Solución oficial: 2026

En una fiesta habían mujeres y hombres. A las $88$ PM se fueron de la fiesta $1515$ mujeres, quedando el doble de hombres que de mujeres. A las $99$ PM se fueron $4545$ hombres, quedando $55$ mujeres por cada hombre. ¿Cuántas personas habían inicialmente en la fiesta?

Solución oficial: 90

En un tribunal, cuatro hombres son juzgados por un robo. El fiscal insiste en que
todos mienten, porque ellos declararon lo siguiente:

Saúl: “uno sólo miente”.
Raúl: “dos son los que mienten”.
Eduardo: “tres son los que mienten”.
Martín: “los cuatro decimos la verdad”.

Sin embargo, el juez piensa que sólo uno de los acusados dice la verdad. Si el juez está en lo correcto ¿quién dice la verdad?

Solución oficial: Eduardo