Sea ABC un triángulo rectángulo con $\mathrm{\angle }ABC=90^{\circ }angle\; ABC=90^\{circ\}$. Sea $\mathrm{\ell }ell$ la tangente por $BB$ a la circunferencia del $\mathrm{△}ABCtriangle\; ABC$. La perpendicular por $AA$ a $\mathrm{\ell }ell$, corta a $\mathrm{\ell }ell$ en $PP$, la perpendicular por $CC$ a $\mathrm{\ell }ell$, corta a $\mathrm{\ell }ell$ en $QQ$. Supongamos que $AP=4cmAP=4\; cm$ y $CQ=9cmCQ=9\; cm$, ¿cuánto vale el área del triángulo $ABCABC$?

Solución oficial: 39

En la figura $ABCABC$ es un triángulo con $AB=7cmAB=7,\; cm$ y $BC=xcmBC=\; x,\; cm$, $PP$ es un punto sobre $ACAC$ tal que $AP=xcmAP=\; x,\; cm$, $PC=5cmPC=\; 5,\; cm$ y $QQ$ es un punto sobre la recta $BCBC$ tal que $CQ=xcmCQ=\; x,\; cm$. Si $PQ=7cmPQ=\; 7,\; cm$, ¿cuál es el valor de $xx$?

Solución oficial: 3

En una fiesta habían mujeres y hombres. A las $88$ PM se fueron de la fiesta $1515$ mujeres, quedando el doble de hombres que de mujeres. A las $99$ PM se fueron $4545$ hombres, quedando $55$ mujeres por cada hombre. ¿Cuántas personas habían inicialmente en la fiesta?

Solución oficial: 90

Julián escribió cuatro enteros positivos consecutivos. Luego calculó los cuatro totales posibles obtenidos al sumar 3 de ellos a la vez. Ninguno de estos totales era un primo. ¿Cuál es el entero más pequeño que Julián pudo escribir?

Solución oficial: 7

En una fiesta hay $20262026$ personas numeradas como $P_1,P_2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},P_{2026}P\_1,\; P\_2,...,\; P\_\{2026\}$, se sabe que las personas $P_1,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},P_{2025}P\_1,...,\; P\_\{2025\}$ saludaron de mano a tantas personas como su número indica, por ejemplo, la persona $P_{23}P\_\{23\}$ se saludo de mano con 23 personas. ¿Con cuántas personas se saludó de mano la persona $P_{2026}P\_\{2026\}$?

Solución oficial: 1013

En la figura se muestra un cuadrado $ABCDABCD$ de área $30c{m}^{2}30,\; cm^2$. Los puntos $P,Q,R,P,\; Q,\; R,$ y $SS$ se encuentran sobre la diagonal $ACAC$. El $\mathrm{△}APBtriangle\; APB$ tiene área $2c{m}^{2}2,\; cm^2$, el $\mathrm{△}BRCtriangle\; BRC$ tiene área $9c{m}^{2}9\; ,\; cm^2$, el $\mathrm{△}AQDtriangle\; AQD$ tiene área $5c{m}^{2}5,\; cm^2$ y el $\mathrm{△}DSCtriangle\; DSC$ tiene área $4c{m}^{2}4,\; cm^2$. Si $AP=acmAP=\; a,\; cm$, $PQ=bcmPQ=\; b,\; cm$, $QR=ccmQR=c,\; cm$, $RS=dcmRS=\; d,\; cm$ y $SC=ecmSC=\; e,\; cm$, ¿cuál de $a,b,c,d,a,b,\; c,d,$ ó $ee$ es más grande?

Solución oficial: d